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なにを今さら？ なんだが、ちょっと「あれ？」だったことがあったので、覚書ってことで。

1～NまでのN個の点があるとする。
この時、区間の数は N-1 個。
3次関数の係数は4個なので、求めたい係数の個数は 4*(N-1) = 4N-4 個。

制約条件は以下の通り。

1. 各区間の始点 x_i での値は元の点の y_i と等しい。
   f_i(x_i) = y_i （iは1～N-1）
   これが N-1 個の制約条件。
2. 各区間の終点 x_i+1 での値は元の点の y_i+1 と等しい。
   f_i(x_i+1) = y_i+1 （iは1～N-1）
   これが N-1 個の制約条件。
3. 両端を除く各点で1階微分が等しい。
   f'_i(x_i+1) = f'_i+1(x_i+1) （iは1～N-2）
   これが N-2 個の制約条件。
4. 両端を除く各点で2階微分が等しい。
   f''_i(x_i+1) = f''_i+1(x_i+1) （iは1～N-2）
   これが N-2 個の制約条件。
5. 両端の区間の端っこでは2階微分がゼロ。
   f''₁(x₁) = 0
   f''_N-1(x_N) = 0
   これが2個の制約条件。

1～5までの制約条件の数を足すと 4N-4 個。
つまり未知数の数と等しく、一意に決まる。

めでたし、めでたし。どんとはれ。