Chrome。
各サイトごとにパスワードを保存してくれていたのだが、急に保存してくれなくなってしまった。
新しく教えてやろうとして、「パスワードを保存しますか？」で「はい」をしても、やっぱり保存してくれない。

ググって見つけた解決法がこちら。
情報科学屋さんを目指す人のメモ

その方法とは、まずChromeを終了してから、「C:\Users\（ユーザー名）\AppData\Local\Google\Chrome\User Data」にある「Default」を削除して再起動する、というものです（このとき、もとのDefaultフォルダはバックアップしておく）。
Chromeを起動すると、タブなどは削除されてしまいますが、Google Syncを使って同期されていたブックマークやプラグイン、などなどの情報は、ChromeにGoogleアカウントでログインすることで復元できるので、そこまで大変な問題ではありません。

試したところ、このやり方で無事解決。
Linuxの場合だと、「$HOME/.config/google-chrome」にある「Default」。

パスワードの問題はこの方法で解決するものの、やっぱりいろいろと設定が失われてしまう（例えばAdblock Plusの設定とか）のは好きじゃない。

ということで、探した結果、結局のところ、「Default」の中の「Login Data」というファイルを削除してやるだけでよさそうなことが判明。
（いきなりの削除が恐ければ、とりあえずは「Login Data HOGE」とでも名前を変えればよい。というよりも、情報科学屋さんにもあるように「Default」丸ごとのバックアップを取った上での作業を強く推奨）

パスワード管理が正常かどうかの判断は、設定⇒詳細設定を表示…⇒パスワードを管理、として保存しているはずのパスワードが表示されればOK。
異常が起こっている場合だとパスワードがこんな感じ↓で全く表示されない。

調子が悪い時のChrome